ФМС / Статические системы / Метод виртуальной работы

В статике решаются задачи, где так или иначе присутствует равновесие, при этом не всегда бывает удобно пользоваться алгоритмом, который обычно предлагается школьникам для решения подобных задач, а именно

При расчете сложных конструкций чаще всего полезно использовать метод виртуальной работы.

Введем ряд фундаментальных понятий, прежде чем познакомить вас с этим методом. Будем называть связями ограничения, действующие на систему (например, силы реакции или трения). Будем называть виртуальным перемещением системы бесконечно малое (или конечно в случае систем в равновесии) изменение конфигурации системы, согласующееся со связями, наложенными на систему в данный момент, то есть мы как бы замораживаем время и производим некое перемещение всей системы или ее части. При этом силы, действующие в системе (или связи) остаются неизменными.

Произведем виртуальное перемещение системы и воспользуемся законом сохранения энергии, очевидно, что работа всех сил при виртуальном перемещении равна 0, данный метод называется методом виртуальной работы. То есть мы можем совершать ряд перемещений с нашей статической системой, получая соответствующие уравнения, при этом разумеется нужно учесть работу сил реакции. Теоретически мы можем совершить с нашей системой сколь угодно много виртуальных перемещений, и получить нужное количество уравнений. Правда при некоторых перемещениях мы получим одинаковые уравнения, так что стоит выбирать только те перемещения, которые могут дать нам линейно независимые уравнения.

Рассмотрим несколько примеров на применение метода виртуальной работы (другое название метод виртуальных перемещений).

Пример 1

Лестница длиной L приставлена под углом к гладкой вертикальной стене, на верхнем конце имеются ролики. Лестница весит P. На расстоянии l от ее верхнего конца подвешен груз W. Найдите:

силу давления роликов на стену
горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой лестница давит на землю.

Решение:

Рис. 1

В любой задаче, решаемой с помощью метода виртуальных перемещений удобно рассматривать два типа перемещения:

перемещение системы вдоль одной из осей координат OX или OY
вращение вокруг какой-либо точки на произвольный угол

Законы сохранения энергии для данных перемещений дадут нам необходимые уравнения.

Перейдем к рассмотрению данной задачи. Пусть P – масса лестницы, а и горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления лестницы на землю, а сила давления роликов на стену.

Рассмотрим первое перемещение вдоль оси OY на некоторую величину y. Очевидно, что изменится потенциальная энергия грузов подвешенных вертикально (масса лестницы P (мы заменили ее грузом, подвешенным к центру масс лестницы и имеющим такую же массу, как и лестница) и масса подвешенного груза W) и появится работа сил реакции, направленных по оси OY, закон сохранения энергии запишется в виде:

Рассмотрим перемещение вдоль оси OX на x. Работа всех сил будет равна нулю при этом перемещении, запишем закон сохранения энергии:

Чтобы определить значение, например, , воспользуемся поворотом по часовой стрелке лестницы на малый угол вокруг точки опоры лестницы

Рис. 2

Найдем горизонтальное и вертикальное перемещение точки, находящейся на расстоянии от нижнего края лестницы, как видно из рисунка вертикальное смещение равно: , а горизонтальное смещение: . Запишем закон сохранения энергии для данного виртуального перемещения:

Задача решена. ■

Стоит обратить внимание на то, что аналогичные уравнения получались и из традиционного метода решения этой задачи, но если ранее вам надо было находить плечи, проекции, моменты, а потом решать громоздкие уравнения, то при решении методом виртуальной работы, вся физика, да и, в общем, математика, довольно просты.

Рассмотрим еще один подобный пример для закрепления.

Пример 2.

Подъемное устройство состоит из однородного стержня длиной L и весом w; устройство нижним концом шарнирно соединено со стенкой. С вертикалью стержень образует постоянный угол благодаря горизонтально натянутой проволоке, которая соединена со стержнем на расстоянии x, от шарнира. Груз W подвешен к верхней точке стержня. Найдите натяжение горизонтальной проволоки T.

Решение:

Рис. 3

При решении данной задачи, очевидно, что имеет смысл рассматривать лишь виртуальный поворот на угол по часовой стрелке

Рис. 4

Соответственно вертикальное смещение вверх для точки, находящейся на расстоянии x от точки крепления, из рис. 4 равно и горизонтальное смещение право равно . Запишем закон сохранения энергии:

Задача решена. ■

Решение задачи заняло две строчки, согласитесь, что этот способ гораздо рациональнее, чем обычный метод решения таких задач.

Последний пример связан с использованием метода виртуальной работы при расчете довольно сложных конструкций с гибкими и жесткими связями.

Пример 3

Ферма состоит из легких алюминиевых стержней, концы которых шарнирно соединены друг с другом. В точке C ферма опирается на ролик, который может двигаться по гладкой плоскости. При сварке стержень AB нагревается, причем его длина увеличивается на величину x. При этом груз смещается по вертикали на величину y. Куда направлено смещение груза (вверх или низ), и какая сила действует на стержень (определить нужно и знак силы, то есть растянут он или сжат)?

Рис. 5

Решение:

Пусть AB удален, тогда точка B начнет смещаться направо, а точка A наверх, отсюда очевидно, что стержень растянут.
Заменим стержень AB следующей системой грузов массы T, очевидно, что от этого в данной задаче ничего не изменится (см. рис. 6)

Рис. 6

Если длина AB возрастет, то грузы поднимутся, тогда по закону сохранения энергии (энергия системы не должна изменяться) груз W должен опустится.

3) Если увеличить длину AB на x, тогда грузы поднимутся, причем суммарное изменение их потенциальной энергии будет равно , с другой стороны оно равно изменению потенциальной энергии груза:

Вообще в подобных задачах растянутый стержень всегда можно заменить гибкой связью, а определить растянут стержень или сжат, можно виртуально убрав данный стержень и посмотрев смещение точек начала и конца стержня.

Использование материалов с сайта без разрешения администрации запрещено! Вопросы принимаются на e-mail: antepl@yandex.ru

© 2005 ФМС.	Последнее обновление: 22 июля 2005 года