ФМС / Динамика / Закон Всемирного тяготения.

По второму закону Ньютона причиной изменения движения, то есть причиной ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения, направленные по линии, соединяющей центры масс (рисунок справа). У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом И. Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная, как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения:

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной, или постоянной всемирного тяготения (от лат. gravitas - тяжесть). Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными весами.

см. Опыт Кавендиша

Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все эти явления находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если M – масса Земли, R – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна . Также знаем, то , где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли. Приравняв оба уравнения, получаем:

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (R = 6,38·10⁶ м), можно вычислить массу Земли M:

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рисунок справа иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на космонавта в космическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой космонавт притягивается к Земле вблизи ее поверхности, равна 700 Н.

Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии r = 3,84·10⁶ м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли R. Следовательно, ускорение свободного падения a_Л, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения:

где T = 27,3 сут. – период обращения Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения g_Л на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Поэтому ускорение g_Л определится выражением:

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Движение спутника по круговой орбите

Рассмотрим теперь вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной.

Найдем, с какой скоростью должен двигаться искусственный спутник Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли.

На больших высотах воздух разрежён и почти не оказывает сопротивление движущимся телам, следовательно, будем считать, что на спутник действует только гравитационная сила, направленная к центру земли:

здесь m - масса спутника, М - масса Земли, R - радиус Земли и h - высота, на которой летит спутник. Из-за действия этой силы появляется центростремительное ускорение:

По II закону Ньютона

. (2)

Из этой формулы видно:

Чем больше высота, тем медленнее спутник будет двигаться по круговой орбите;

Скорость спутника не зависит от его массы;

Спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить на данной высоте направленную перпендикулярно радиусу Земли скорость, модуль которой определяется выражением (2);

Из изложенного выше вытекает определение первой космической скорости:

Первая космическая скорость - скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало спутником планеты

Вычислим первую космическую скорость у поверхности Земли, где h=0:

Из формулы (1) видно:

Двигаясь с такой скоростью спутник, облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника υ находится из условия

Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период T обращения такого спутника равен

где T₁ – период обращения спутника на околоземной орбите. Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6R_З, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6R₃ называется геостационарной.

Траектории движения тела, запущенного с поверхности Земли с отличной от нуля касательной скоростью v, постепенно приближаются к круговой с ростом v. При достижении критической скорости v_I орбиты становятся круговыми, затем, при дальнейшем росте v, переходят во все более вытянутый эллипс. После достижения второй космической скорости траектории становятся незамкнутыми (парабола, затем гипербола).

à В настоящие время вокруг Земли обращаются тысячи искусственных спутников. Руками человека за последнее тридцатипятилетие создавались и искусственные спутники Луны, планет Венера и Марс, а также Солнца ß

Использование материалов с сайта без разрешения администрации запрещено! Вопросы принимаются на e-mail: antepl@yandex.ru

© 2005 ФМС.	Последнее обновление: 22 июля 2005 года