Столкновения.
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют
находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие
силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.
Ударом (или столкновением) принято
называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости
испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними
действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна.
Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью
законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих
случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить
связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные
значения этих величин.
С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной
жизни, в технике и в физике.
В механике часто используются две модели ударного взаимодействия –
абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
Абсолютно неупругий удар - такое
ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с
другом и движутся дальше как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она
частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел.
Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули в
баллистический маятник. Маятник представляет
собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рисунок 1).
Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью
, попадает в ящик и застревает
в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.
Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через
Тогда по закону сохранения импульса
При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:
Отношение называется долей
кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:
Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому
неупругому соударению двух тел с разными массами.
При почти вся кинетическая
энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При
во внутреннюю энергию переходит
половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении
движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m>>М)
отношение
Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения
механической энергии:
где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений
следует:
Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость
пули υ.
Рисунок 1
Абсолютно упругий удар - столкновение,
при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц
подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется
закон сохранения механической энергии.
Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный
удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в
состоянии покоя (рисунок 2).
Центральный удар шаров - соударение,
при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.
Рисунок
2.
В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся
шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии
Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость
второго шара υ2=0, u1 и u2
– скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций
скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого
шара до удара, записывается в виде:
m1υ1=m1u1+m2u2.
Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти
неизвестные скорости u1 и u2
шаров после столкновения:
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m>1
= m2), первый шар после соударения останавливается (u1
= 0), а второй движется со скоростью u2 = υ1,
то есть шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ2≠0),
то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода
в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью
υ2 относительно “неподвижной” системы. В этой системе второй
шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет
скорость υ1 = υ1 – υ2. Определив
по приведенным выше формулам скорости u1 и u2
шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к
“неподвижной” системе.
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса,
можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости
до столкновения.
Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно
если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При
нецентральном упругом соударении скорости
частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.
Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения
двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был
неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров
(рисунок 3).
Рисунок 3
После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом
друг к другу. Для определения скоростей
и
после удара нужно знать положение
линии центров в момент удара или прицельное расстояние
d (рисунок 3), то есть расстояние между двумя линиями,
проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости
налетающего шара. Если массы
шаров одинаковы, то векторы скоростей
и
шаров после упругого соударения
всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя
законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2
= m эти законы принимают вид:
Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей
,
и
образуют треугольник (диаграмма
импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора,
то есть он прямоугольный. Угол между катетами
и
равен 90°.
|