ФМС / Кинематика / Движение под действием силы тяжести

При падении любого тела на Землю из состояния покоя его скорость увеличивается. Ускорение, сообщаемое Землей всем телам, направлено вертикально вниз.
Со времен Аристотеля философы (ибо в те далекие времена явления природы изучались философией) считали, что Земля сообщает разным телам разные ускорения. Простые опыты как будто подтверждали это. Лист бумаги падал гораздо медленней камня.
Спустя многие века Галилей, проведя серию экспериментов с шарами одинакового диаметра, но разной массы, установил, что время падения шара не зависит от массы шара. Таким образом, Земля сообщает всем телам одинаковое ускорение, его стали называть ускорением свободного падения (g). Этот факт, установленный Галилеем, позволил рассчитывать траектории полета снарядов, измерять глубины, дал толчок развитию физики как науки. Хотя многие и сейчас не знают этого факта, последний пример мы могли наблюдать в фильме «Властелин Колец», в конце фильма Гэндальф падает в пропасть и в падении догоняет свой меч, с точки зрения физики это абсурдно…
Применим факт, установленный Галилеем. Рассмотрим общий случай: тело брошено с некой высоты h на Землю под произвольным углом альфа (рис.1).

Рис.1
Любое сложное движение можно разложить на несколько простых движений, в данном случае наше движение раскладывается на два простых движения по оси OX и по оси OY. При этом по оси OX тело будет двигаться равномерно (так как нет факторов, которые ускоряли бы тело), а по оси OY тело будет двигаться с ускорением равным по модулю g.
Запишем уравнения движения:

Теперь найдем уравнение траектории y(x), для этого выразим время из уравнения (1) и подставим в уравнение (2).

Получается, что y(x) – парабола, значит, что тело, брошенное под любым углом, летит по параболе. Вычислим теперь исходя только из уравнения (3) дальность полета тела. Для этого заметим, что дальность полета – это расстояние от начала координат до точки пересечения нашей параболы с осью OX (более точная формулировка нуль функции y(x)). Таким образом, чтобы найти дальность полета достаточно решить уравнение y(x)=0 и из двух корней выбрать положительный корень, так как отрицательный будет соответствовать продолжению параболы влево по оси OX от нуля и его можно выкинуть:

Из уравнения (4) легко найти время полета тела, для этого достаточно подставить значение (4) в уравнение (1) и выразить время полета:

Теперь выразим максимальную высоту, на которую сможет подняться тело. Для этого вернемся к уравнению (3). Так как уравнение (3) представляет собой траекторию полета тела, то наибольшей высотой полета будет являться координата y вершины параболы, а она определяется очень просто в школьном курсе алгебры:

Пользуясь этим соотношением, найдем максимальную высоту подъема:

Выражение (5) – расстояние от точки бросания до точки максимального подъема. Подставив (5) в (1) мы найдем время, за которое тело достигает максимальной высоты:

Таким образом, мы нашли общие решения для максимальной высоты подъема, дальности полета, времени полета, времени подъема. Стоит заметить, что в общем случае время подъема не равно времени спуска.
Рассмотрим теперь частные случаи:

Тело бросают вертикально вверх с высоты h:

Тело бросают с поверхности земли под некоторым углом:

Тело бросают с некоторой высоты под нулевым углом:

Таким образом, мы написали уравнения всевозможных падений, по сути пользуясь только одним уравнением – уравнением траектории не прибегая к особенностям того или иного движения.

Использование материалов с сайта без разрешения администрации запрещено! Вопросы принимаются на e-mail: antepl@yandex.ru

© 2005 ФМС.	Последнее обновление: 22 июля 2005 года