ФМС / Кинематика / Движение с ускорением.

Рассмотрим движение тела с постоянным мгновенным ускорением (здесь и далее в этой статье рассматривается движение тела по прямой). Из определения мгновенного ускорения следует, что скорость линейно зависит от времени:

Чтобы написать уравнение зависимости координаты от времени, наложим некоторые условия на величину ускорения, пусть ускорение будет положительным, а движение проходит в положительном направлении оси OX. Предварительно докажем утверждение, о том, что путь пройденный телом есть площадь под кривой графика зависимости скорости от времени. Для доказательства разобьем площадь под кривой на множество прямоугольников (см рис.1):

Рис.1
При этом выберем такое малое разбиение, чтобы площади, закрашенные зеленым, были равны и представляли собой треугольники (на малых участках график функции можно уподобить прямой), таким образом, очевидно, что площадь под графиком представляет собой сумму прямоугольников, а площадь прямоугольника есть путь, проходимый за некоторый малый промежуток времени. Теперь устремим число прямоугольников к бесконечности и просуммируем их – путь, пройденный телом равен:

В данном случае путь равен перемещению, поэтому

Можно вычислить площадь под графиком скорости, как площадь трапеции (так как скорость линейно зависит от времени). Таким образом, окончательно запишем уравнение движения в проекции на ось OX:

Аналогично запишем уравнения движения вдоль остальных осей координат. По принципу суперпозиции получим:

Из этого уравнения есть несколько полезных следствий:

Формула (4) была впервые получена Галилеем. Она формулируется следующим образом: пути, проходимые за равные последовательные промежутки времени относятся как 1 к 3 к пяти и т.д. Доказательство этих формул мы предоставляем читателю.
На демонстрации тело движется по закону:

Использование материалов с сайта без разрешения администрации запрещено! Вопросы принимаются на e-mail: antepl@yandex.ru

© 2005 ФМС.	Последнее обновление: 22 июля 2005 года