1. Катер, двигаясь без остановок, поднялся вверх по реке на некоторое расстояние, а затем повернул назад и вернулся в пункт отправления. Скорость катера в стоячей воде V_K = 3 м/с. Определите скорость течения реки V_Р, если известно, что средняя скорость движения составила 15/16 от скорости катера в стоячей воде.

2. Автобус отправляется из города А в город Б, в который он должен прибыть через 4 часа. Первый час автобус ехал с некоторой постоянной скоростью V₁. После этого, чтобы прибыть по расписанию в город Б, водителю пришлось увеличить скорость движения в α=1,2 раза. После прибытия в город Б к назначенному времени оказалось, что автобус за последний час проехал на L = 3 км больше, чем за первый час. Определите среднюю скорость движения автобуса на первой половине пути.

3. К динамометру подвешен стакан, заполненный водой до краев. Показание динамометра равно F₁ = 3Н. На дно стакана опускают небольшой камень массой m_K = 100г, который оказывается полностью погруженным в воду. Определите новое показание динамометра. Плотность камня ρ = 2500 кг/м³.

4. Определите максимальное давление под крышкой скороварки, если диаметр отверстия предохранительного клапана скороварки d = 5мм, а масса грузика, закрывающего клапан, m = 60г. Атмосферное давление P_a = 760 мм. рт. ст. (101000 Па).

5. Какую наибольшую массу может иметь кусок железа, погруженного (полностью) в воду на нити, чтобы нить не оборвалась? Известно, что нить выдерживает силу натяжения F_Н = 200Н. Плотность железа ρ_Ж = 7800 кг/м³. Массой нити пренебречь.

6. U – образная вертикально расположенная трубка постоянной площади поперечного сечения частично заполнена водой так, что расстояния от открытых концов трубки до уровня воды в коленах равны h = 5см. Какой максимальный по толщине слой масла с плотностью ρ_М = 800 кг/м³ можно налить в одно из колен трубки, чтобы масло не выливалось? Масло и вода не смешиваются.

7. Имеются два цилиндрических стакана массой m_CT каждый. На дно первого кладут медный брусок массой m₁ и стакан опускают в воду так, что он плавает, погрузившись в воду до краев. Ко дну второго стакана снизу прикрепляют медный брусок массой m₂ и тоже опускают в воду так, что стакан плавает, погрузившись в воду до краев. Найдите отношение масс медных брусков. Плотность меди ρ_М = 8900 кг/м³. Толщиной стенок и дна стаканов пренебречь.

8. С помощью маленького нагревателя мощностью P = 250Вт воду в ведре удалось довести до максимальной температуры 40°С. Каков объем воды в ведре, если после отключения нагревателя температура понизилась на 1°С за 2 минуты? Теплоемкостью нагревателя и ведра пренебречь.

9. При напряжении U = 1,2В на концах куска медной проволоки постоянного круглого сечения по ней течет ток силой I₁ = 100мА. Если отрезать от куска L = 4м и подать на оставшуюся проволоку то же напряжение, то сила тока возрастает на 20мА. Определите диаметр проволоки. Удельное сопротивление меди = 1,7·10^-8 Ом · м.

10. Камень, брошенный вертикально вверх с некоторой скоростью V₀ достигает максимальной высоты H за время t₁. Если с этой высоты камень бросить со скоростью V₀ вертикально вниз, то время падения составит t₂. Определите высоту H и скорость V₀, считая известными t₁, t₂ и g.

11. Брусок массой m из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль горизонтального стола, начинает двигаться по его поверхности. Через время t₁ действие силы F прекращается, и, спустя время t₂ после этого, брусок останавливается. Чему равна сила трения, действовавшая на брусок во время движения? На какое расстояние брусок переместился за все время движения?

12. Определите силу натяжения троса, связывающего два космических корабля, которые вращаются вокруг Земли по круговым орбитам радиусами R₁ и R₂ так, что трос всегда направлен к центру Земли. Массы кораблей одинаковы и равны m, масса Земли M_З. Гравитационным взаимодействием между кораблями пренебречь.

13. Сколько молекул водорода находится в объеме 1л при температуре 27°С и давлении 750 мм.рт.ст.? Водород в данных условиях считать идеальным газом.

14. Моль гелия при постоянном объеме V₀ = 200л охладили на T = 1К так, что давление упало на 0,2%. На сколько уменьшилось давление газа? Какова была начальная температура газа?

15. В герметичный сосуд объемом 10л поместили 1 моль кислорода и 1 моль водорода. Гремучую смесь подожгли. Какая максимальная масса воды может сконденсироваться в сосуде после охлаждения продуктов реакции до 100°С?

16. С одним молем идеального газа проводят тепловой процесс, в котором газ сначала изобарически расширяется, а затем изохорически охлаждается. При этом газом совершена работа A. Отношение максимального давления к минимальному во всем процессе равно k. Определите температуру газа в начальном состоянии, если известно, что она равна температуре газа в конечном состоянии.

17. В цилиндре под поршнем находятся v₁ = 0,5 моля воды и v₂ = 0,5 моля пара. Жидкость и пар медленно нагревают в изобарическом процессе, так, что в конечном состоянии температура пара увеличивается на ∆T. Какое количество теплоты было подведено к системе "жидкость – пар" в этом процессе? Молярная теплота испарения жидкости в заданном процессе равна Л. Внутренняя энергия v молей пара равна (R – универсальная газовая постоянная). Пар считать идеальным газом.

1. На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них лежат два черных шара, во втором – два белых, в третьем – черный и белый. На ящиках сделаны надписи "два белых", "два черных", "черный и белый", причем ни одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только один шар, определить, где лежат какие шары?

2. Найти минимальное натуральное число, о котором известно, что:
1. если его умножить на 17, то результат разделится на 24;
2. если его разделить на 11, то результат разделится на 5;
3. если его разделить на 2, то получится квадрат некоторого натурального числа.

3. Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 11, то и каждое из них делится на 11.

4. Группу школьников нужно рассадить в столовой. За стол можно усадить три человека. Если сажать за стол по 2 девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни мальчики, а, если сажать за стол по 2 мальчика, то будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек в группе?

5. В треугольнике ABC провести прямую, пересекающую стороны AB и BC в точках M и N соответственно, так, чтобы AM = MN = BN. В каком случае MN будет параллельна AC?

6. В урне лежали черные и белые шары, их число не более 55. Число белых относилось к числу черных как 3 : 2. После того, как из урны вынули 4 шара, оказалось, что соотношение белых и черных шаров стало 4 : 3. Сколько шаров лежало в урне?

7. При каком целом значении параметра k отношение корней уравнения

x² + (2k - 5)x - 9k = 0

равно 2?

8. Найти все тройки различных целых чисел, являющихся тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а также первым, вторым и пятым членами арифметической прогрессии.

9. Решить систему уравнений:

10. В треугольнике ABC со сторонами AB=14, AC=15, BC=13 через основание высоты CH проводятся прямые, параллельные прямым AC и BC которые пересекают соответственно стороны BC и AC треугольника в точках M и N. Прямая MN пересекает продолжение стороны AB в точке D. Найти длину отрезка BD.

11. Решить неравенство

,

имеет единственное решение.

13. Решить уравнение

14. Какая наименьшая площадь может быть у прямоугольного треугольника ABC в котором окружность радиуса R с центром на катете AB касается гипотенузы AC и проходит через точку B?